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Astronomie, Astrologie und Mathematik c5: Drittes Kapitel. Mathematik

Astronomie, Astrologie und Mathematik c5

Language
German

Contents

Drittes Kapitel. Mathematik

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§ 47. Einleitendes. — Wenn wir von der Astronomie der Inder zur Betrachtung ihrer Mathematik übergehen, so erhalten wir einen charakteristisch verschiedenen Eindruck. Die Astronomie erscheint uns prima facie als durchaus fremdartig. Die ältere Stufe derselben, die wir als die eigentlich indische bezeichnet haben, ist so primitiv und zugleich so phantastisch, dass sie unseren modernen Anschauungen völlig fern liegt. Was uns an der jüngeren Stufe — wie sie im Sūrya-Si. und ähnlichen Werken vorliegt — zuerst auffällt, ist die seltsame Art der Darstellung und Methode, die Anwendung ungeheurer Perioden u. dgl.; und wenn wir durch diese Hülle auf den Kern dringen, so tritt uns ein System entgegen, das mit dem Ptolemäischen etwa auf derselben Stufe steht und uns daher eben so veraltet erscheint wie das letztere. In ganz verschiedener Weise fühlen wir uns berührt, wenn wir mit dem mathematischen Wissen der Inder bekannt werden, wie es in den Schriften Brahmaguptas und Bhāskaras dargestellt ist. Abgesehen von der änigmatisch concisen Form, in der uns hier, ebenso wie auf allen anderen Gebieten indischer wissenschaftlicher Darstellung, die Regeln vorgelegt werden, finden wir uns auf ganz bekanntem Boden; und dies Gefühl intellectueller Verwandtschaft wird nur erhöht, wenn wir die indischen Kenntnisse mit dem von den Griechen auf demselben Gebiete Geleisteten vergleichen. Die Geometrie der Inder ist freilich gering entwickelt und kann sich weder an Ausdehnung, noch Tiefe, noch Methode irgendwie mit dem bewundernswerten Gebäude griechischer Geometrie messen; sie ist aber insofern der modernen Geometrie verwandt, als sie mit Vorliebe mit arithmetischen und algebraischen Ideen operirt. Ferner besitzen die Inder seit alter Zeit ein hochausgebildetes Rechensystem, das sie befähigt, die verschiedenen arithmetischen Operationen bis zum Ausziehen von Quadrat- und Cubikwurzeln ebenso leicht zu vollziehen, wie wir heutzutage hierzu im Stande sind — ein Umstand, der natürlich im Grunde darauf beruht, dass unser modernes System, Zahlen zu schreiben, den Indern bekannt war und von ihnen auf uns gekommen ist. Dazu kommt weiter die hohe Stufe der Entwickelung, welche die Algebra bei den Indern erreicht hat — eine Stufe, die weit über das von Diophant Geleistete hinausgeht. Auch hier sind ja die Inder, durch Vermittelung der Araber, die Lehrer der modernen europäischen Nationen gewesen. Es mag schliesslich hier noch gleich die vereinzelte, aber doch interessante Thatsache erwähnt werden, dass die freilich sehr rudimentäre Trigonometrie der Inder den Sinus verwendet, an Stelle der von den Griechen ausschliesslich benutzten Sehne. All dies im Verein erklärt natürlich zur Genüge, warum uns die Mathematik der Inder so wesentlich modern anmutet.

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§ 48. Hohe Zahlen. — Ziffernsysteme. — Wir wissen nur wenig von der Entwickelung des mathematischen Wissens bei den Indern; und es empfiehlt sich daher, zuerst die schliesslich von ihnen erreichte Stufe desselben darzustellen und dann das beizufügen, was von etwaigen Vorstufen uns bekannt geworden ist. Einige Punkte allgemeinerer Art erfordern hier zunächst unsere Aufmerksamkeit.

c5.3

Es möge zuerst auf die Leichtigkeit hingewiesen werden, mit der die Inder von Alters her grosse Zahlen handhabten, und auf die daraus zu folgernde Schärfe ihres Einblickes in das Zahlensystem. Das Zahlensystem der Inder ist, wie das der anderen indo-europäischen und überhaupt fast aller Völker, ein decimales: d. h. »zehn« bildet den Schlusspunkt der Reihe von primären von einander unabhängigen Zahlwörtern, während höhere Zahlen durch Wörter bezeichnet werden, deren Form andeutet, dass diese Zahlen angesehen werden entweder als entstanden aus einer Addition zu 10 oder als Producte von 10. Weiterhin werden dann, offenbar zu grösserer Leichtigkeit des Ausdruckes, gewisse Stufenzahlen, wie 10 × 10, 10 × 10 × 10, durch eigene neue Wörter bezeichnet: »hundert«, »tausend«. Während aber die anderen indo-europäischen Sprachen in dieser Verwendung von eigenen Bezeichnungen für höhere decimale Stufenzahlen nicht weit gegangen sind (die germanischen Sprachen z. B. und das Lateinische nur bis 1000, das Griechische bis 10000 — wir sehen hier ab von ganz modernen Bildungen wie »Million«), besitzen die Inder schon in ganz alter Zeit eine lange Reihe selbständiger Wörter für die höheren Potenzen von 10 — lakṣa (= 100000), prayuta, koṭi u. s. w. Reihen solcher Ausdrücke — wobei die Einzelheiten freilich mehrfache Abweichungen zeigen — finden sich schon in den Mantras der Saṃhitās und in den Brāhmaṇas; das Mahābhārata zählt solche Termini bis zum Ausdrucke von 100000 Billionen auf, und spätere Werke gehen darin noch viel weiter. In analoger Weise finden sich schon ganz frühe in den Brāhmaṇas und Sūtras besondere Termini für weit herabgehende Bruchteile der Zeit: so werden z. B. im Śatapatha-Brāhmaṇa eigene Namen für 1/15, 1/15 × 15, 1/15 × 15 × 15, 1/15 × 15 × 15 × 15 eines Muhūrta (= 1/30 der Tagnacht) angegeben. Dass die Bildung von eigenen Wörtern für ungeheuer grosse Zahlenwerte auf der einen und für verschwindend kleine Zeitbrüche auf der anderen Seite — für welche beide es keine reale Verwendung gab — in gewissem Sinne eine müssige Spielerei ist und als eines der zahlreichen Indicien der Masslosigkeit indischer Phantasie angesehen werden kann, ist zuzugeben; ebenso ist aber anzuerkennen, dass das Spielen mit solchen Begriffen und Bezeichnungen eine ungemeine ideelle Beherrschung des ganzen Zahlengebietes beweist, und dass zugleich die indische Eigentümlichkeit, jede höhere Zahl der Zahlenreihe für sich aufzufassen — anstatt in griechisch-römischer Weise mehrere Zahlen in Gruppen zusammen zu nehmen — den Weg zur Positionsarithmetik wesentlich erleichterte. Archimedes, in seinem Arenarius, fand es der Mühe wert, nachzuweisen, dass sich die Zahl der Sandkörner, aus denen der Erdball besteht, nicht vermittelst der den Griechen zu Gebote stehenden Zahlbezeichnungen ausdrücken lasse. Wir können nicht zweifeln, dass etwa einem indischen Zeitgenossen des Archimedes die Möglichkeit eines solchen Ausdruckes als etwas ganz Selbstverständliches erschienen sein würde.

c5.4

Der nun zunächst zu bemerkende Punkt ist die frühzeitige Ausbildung des Stellungs- oder Positions-Ziffernsystems bei den Indern — wonach die Stelle eines Zahlzeichens in einer Gruppe den decimalen Stufenrang desselben sofort bezeichnet. Dass das heutzutage von allen civilisirten Nationen angewendete Ziffernsystem indischen Ursprungs ist, kann nicht bezweifelt werden; keine andere Nation erhebt einen Anspruch auf seine Erfindung, sondern die Nachrichten über den Ursprung des Systems, die sich bei den Nationen des westlichen Asiens finden, weisen übereinstimmend nach Indien hin. Dass Zahlzeichen schon im zweiten nachchristlichen Jahrhundert von Indien nach dem Westen drangen, ist höchst wahrscheinlich; doch fehlt unter den westlichen Zeichen dieser Zeit noch die Null, ohne welche das Positionssystem natürlich durchaus unvollkommen ist. Das Vorkommen der Null in Indien ist inschriftlich erst aus dem 8. Jahrhundert bezeugt; die Rechenregeln aber, welche der um 500 n. Chr. schreibende Āryabhaṭa gibt, setzen den Gebrauch der Null bereits als etwas Selbstverständliches voraus. Letzterer Umstand scheint die älteste sichere Evidenz für das Bestehen des vollständig ausgebildeten Stellensystems zu geben (das Alter des später zu erwähnenden Rechenbuches von Bakhshālī, welches ebenfalls das Stellensystem anwendet, ist nicht sicher bestimmt). Sehr viel älter als etwa Āryabhaṭa ist die Erfindung des Stellensystems wohl kaum anzusetzen, da es sonst nicht erklärlich wäre, warum in den Brāhmī-Schrift abgefassten Inschriften und Münzlegenden sich erst von ca. 590 n. Chr. an Spuren des decimalen Stellensystems neben einer älteren Weise der Zahlenbezeichnung antreffen lassen. Diese ältere Bezeichnung hat eigene Zeichen für die Einer von 1—9, die Zehner von 10—90, und für 100 und 1000; die dazwischen liegenden und ebenso die höheren Zahlen werden durch Gruppen und Verbindungen der Grundzeichen ausgedrückt. Ausführlich findet sich dies System dargestellt im elften Heft des ersten Bandes dieses Grundrisses von BÜHLER, welcher sich dort der Ansicht BURNELLS anschliesst, dass seine Elemente aus Ägypten entlehnt seien. Ein in analoger Weise verfahrendes System der Zahlenbezeichnung hat sich bis auf neuere Zeit in Ceylon erhalten. Die Einzelheiten über ein besonderes System, welches in den Kharoshṭhī-Inschriften der Sakas und anderer Herrscher (aus den um den Beginn der christlichen Ära liegenden Jahrhunderten) angewendet wird, sind ebenfalls bei BÜHLER nachzusehen; das Charakteristische ist hier die Darstellung der über 4 liegenden Einer durch Verbindungen der Zeichen von 1—4, und der über 20 liegenden Zehner durch Verbindungen der Zeichen für 10 und 20; die letztere Eigentümlichkeit besonders weist auf aramäischen Ursprung des Systemes hin.

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Erwähnt muss hier ferner werden die ebenfalls schon von BÜHLER (S. 80 ff.) behandelte Methode der symbolischen Bezeichnung von Zahlen durch die Namen solcher Dinge, die entweder in Wirklichkeit oder nach der Theorie der Inder in bestimmten numerischen Gruppen vorkommen: so wird z. B. das Wort »Auge« für »zwei« gebraucht und das Wort ṛtu »Jahreszeit« für »sechs«. Spuren dieses Gebrauches finden sich schon in den Sūtras; das ausgebildete System dient dem Zwecke, irgend welche Zahlen so auszudrücken, dass sie in metrische Werke eingerückt werden können, ohne das Metrum zu stören. Es wird dies möglich durch die vielfachen Synonyme, welche die Sanskritsprache für die meisten Wörter darbietet. Ein weiterer Vorteil dieser Bezeichnungsweise ist, dass sie grosse Zahlen sicherer stellt als die gewöhnlichen Ziffern, von denen leicht einige ausgelassen oder verschrieben werden können.

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Wir gedenken schliesslich des künstlichen von Āryabhaṭa angewendeten Systems der Zahlenbezeichnung. Āryabhaṭa verwendet die Consonanten des Nāgarī-Alphabets, um selbständige Zeichen für die Zahlen von 1—25 und die Zehner von 30—100 zu erhalten; dadurch, dass diese Consonanten mit verschiedenen Vocalen ausgesprochen werden, multiplicirt sich ihr Wert mit successiven Potenzen von 100 (so bedeutet ga, der dritte Consonant des Alphabets, 3; gi 300; gu 30000 u. s. w.). Dies künstliche System hat viel mehr von sich reden gemacht, als es verdient. Es ist weiter nichts als eine sinnreiche, sonst aber in keiner Weise historisch interessante Erfindung Āryabhaṭas, die es ihm ermöglichte, grosse Zahlen in einer möglichst kleinen Anzahl von Silben auszudrücken: er ist so im Stande, die ganzen numerischen Elemente seines astronomischen Systems in den zehn einleitenden Versen seines Werkes zusammenzufassen. Wie schon erwähnt, setzen Āryabhaṭas Rechenregeln das gewöhnliche decimale System voraus.

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§ 49. Brahmagupta und Bhāskara. — Arithmetik. — Indem wir uns nun zu der Betrachtung des eigentlich mathematischen Wissens der Inder wenden, halten wir uns zunächst an die Schriften Brahmaguptas und Bhāskarācāryas, in denen dies Wissen in seiner entwickeltsten Form vorliegt; die mathematischen Werke dieser beiden Autoritäten liegen schon seit 1817 in Colebrookes vollständiger Übersetzung vor. Trotz vieler Eigentümlichkeiten im einzelnen repräsentiren diese beiden Autoren wesentlich dieselbe Stufe des Wissens; und über das von Bhāskara Geleistete sind die Inder überhaupt nicht hinausgekommen — wenn wir hier von dem verhältnismässig späten persisch-arabischen Einfluss absehen. Bhāskara gibt mehr als Brahmagupta; doch hat auch der letztere interessante Dinge, die sich bei dem ersteren nicht finden.

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Beide Autoren unterscheiden höhere — algebraische — Operationen (bei Bhāskara vīja-gaṇita genannt) von der einfachen Arithmetik. Die der letzteren gewidmeten Kapitel handeln zunächst von den »acht Operationen«, d. s. Addition, Subtraction, Multiplication, Division, Erhebung in das Quadrat und den Cubus, Ausziehen von Quadrat- und Cubikwurzeln. Da die Inder Zahlen in derselben Weise schreiben wie wir, so sind die Methoden für diese Operationen natürlich wesentlich den modernen analog; doch fehlt es auch nicht an eigentümlichen Verfahrungsweisen: so wird z. B. zum Behelf der Multiplication, neben dem gewöhnlichen Verfahren, gelehrt, wie der Multiplicator in Factoren zu zerlegen ist, mit denen dann nacheinander multiplicirt wird. Andere Einzelheiten des rechnenden Verfahrens sind dadurch bedingt, dass die Operationen meist auf einer kleinen Tafel mit weisser Farbe ausgeführt werden, wobei es sich im Fortgange der Rechnung als bequem erweist, die vollendeten Teile derselben sofort auszulöschen, um Platz für die weiteren Operationen zu gewinnen. Die Methoden zur Erhebung in das Quadrat und den Cubus und zum Ausziehen von Quadrat- und Cubikwurzeln beruhen natürlich auf der Kenntnis der Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² und der entsprechenden Formel für (a + b)³. Die Terminologie für alle diese Operationen und die in sie eintretenden Elemente ist praktisch und bis ins einzelne ausgebildet; sie entspricht vielfach ganz der modernen. So bildet man z. B. aus mūla (Wurzel), varga (Quadrat) und ghana (Cubus) die Ausdrücke varga-mūla (Quadratwurzel) und ghana-mūla (Cubikwurzel). Brüche werden in der Weise geschrieben, dass der Nenner ohne trennenden Strich unter den Zähler gesetzt wird. Die Regeln über Brüche beschäftigen sich hauptsächlich mit der Zurückführung verschiedener Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, worauf sich dann die verschiedenen arithmetischen Operationen ausführen lassen. Bhāskara hat ein besonderes Kapitel über die Rolle der Null in arithmetischen Operationen, und Ähnliches findet sich bereits bei Brahmagupta; die Angaben sind freilich im Ganzen müssiger Art, und erst ein Commentator Bhāskaras erklärt bestimmt, dass ein Bruch, welcher eine Null zum Nenner hat, eine »unendliche« Grösse darstellt. An die Darstellung der arithmetischen Operationen schliessen sich Regeln über die Anwendung derselben auf die Lösung von Aufgaben aus verschiedenen Gebieten der Praxis: Regel de tri, Zinsrechnung und Ähnliches. Die dazu gegebenen Beispiele zeichnen sich oft durch eine angenehme poetische Färbung aus, die von der hyper-abstracten und concisen Form der Regeln seltsam absticht. — Materien von mehr theoretischem Interesse erscheinen in den Kapiteln, welche von Permutationen, Combinationen und arithmetischen und geometrischen Progressionen handeln.

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§ 50. Algebra. — Es ist schwierig, eine Übersicht der bedeutenden Leistungen der Inder auf dem Gebiete der eigentlichen Algebra zu geben, ohne tiefer in Einzelheiten einzugehen, als hier thunlich ist. Doch mögen die folgenden leitenden Punkte hervorgehoben werden. Die Inder besitzen eine leichte und praktische Methode, algebraische Ausdrücke und Formeln zu schreiben, und thun damit einem der ersten Erfordernisse zur Entwicklung der Algebra Genüge. Zu addirende Grössen werden einfach nebeneinandergesetzt; über die zu subtrahirende Grösse wird ein Punkt gesetzt, um sie damit als eine negative zu bezeichnen. Die Idee der negativen Grösse, als einer der Art nach von der positiven verschiedenen, wird bestimmt realisirt; die Termini sind dhana oder sva (Vermögen) für die letztere, ṛṇa oder kṣaya (Schulden) für die erstere. Multiplication wird angedeutet durch die Setzung der Anfangssilbe eines bezüglichen Wortes zwischen die Factoren; vorgesetztes va (von varga) bedeutet Quadrirung, vorgesetztes gha (ghana) bedeutet Cubirung; va va bedeutet die vierte, va gha die sechste Potenz u. s. w. Die unbekannte Grösse wird schon bei Brahmagupta durch yā (von yāvat-tāvat, d. h. quantumtantum) bezeichnet, weitere Unbekannte durch die Anfangsbuchstaben von Wörtern, die verschiedene Farben bezeichnen (kā von kālaka schwarz, nī von nīlaka blau u. s. w.); vor bekannte Grössen wird rū (von rūpaka geprägte Münze) geschrieben. Einander gleichzusetzende Grössen ohne Gleichheitszeichen untereinander geschrieben.

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Was bestimmte Gleichungen betrifft, so behandeln Brahmagupta und Bhāskara eine grosse Anzahl von Gleichungen des ersten Grades und besitzen die Theorie der Auflösung von quadratischen Gleichungen. Bhāskara kennt die paarweise auftretenden Wurzeln der quadratischen Gleichungen, verwirft aber die negativem Vorzeichen, »weil absolute negative Zahlen von den Leuten nicht gebilligt werden«. — Die indischen Mathematiker lösen ferner einzelne Probleme mit mehr als einer Unbekannten und behandeln eine Reihe einzelner Fälle von Gleichungen höheren Grades. — In allen diesen Beziehungen erhebt sich die indische Algebra erheblich über das von Diophant Geleistete.

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Es ist aber auf dem Gebiete der unbestimmten Analytik von den Indern das Bedeutendste geleistet worden. Die indischen Algebraisten besitzen eine allgemeine Methode, die unbestimmte Gleichung des ersten Grades ax + b = cy in ganzen Zahlen aufzulösen, eine Methode, die im wesentlichen mit der modernen Auflösung solcher Gleichungen durch Kettenbrüche übereinstimmt. (Der Sanskritname dieser Methode ist kuṭṭaka, von COLEBROOKE mit »pulverizer« übersetzt; daher etwa »Zerstäubungsmethode«). Sie verstehen es ferner, die Gleichung xy = ax + by + c in ganzen Zahlen zu lösen nach einer Methode, von der Bhāskara einen anschaulichen geometrischen Beweis gibt. Und sie besitzen schliesslich — was den Höhepunkt ihrer Leistungen darstellt — eine Methode zur Auflösung der unbestimmten Gleichungen des zweiten Grades. Für die Details dieser Methode muss auf die Darstellungen bei HANKEL (Zur Geschichte der Mathematik 200 ff.) und CANTOR (Vorlesungen über Geschichte der Mathematik I², 590 ff.) verwiesen werden; HANKEL nennt diese Methode das Feinste, was in der Zahlenlehre vor LAGRANGE geleistet worden ist; erst von letzterem Mathematiker wurde die Methode wiedererfunden und dann weiter ausgebildet. — HANKEL und CANTOR stimmen, gewiss mit Recht, in der Annahme überein, dass der Ursprung des Interesses, welches die Inder den Problemen der unbestimmten Analytik entgegenbrachten, in astronomisch-astrologischen Aufgaben lag, sogen. umgekehrten Kalenderaufgaben, die darauf ausgehen, festzustellen, zu welcher Zeit gewisse Constellationen stattfinden, und Ähnliches. Solche Probleme erforderten zu ihrer Lösung unbestimmte Gleichungen des ersten Grades; und es ist ganz begreiflich, dass das in dieser Weise einmal geweckte Interesse an diesem Zweig der Analyse später zur Behandlung von Gleichungen höheren Grades hinführte.

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In Bezug auf Bhāskaras mathematisches Wissen müssen wir schliesslich auf das hinweisen, was er in dem astronomischen Teile seines Werkes über die Berechnung der tātkālika Bewegung eines Planeten zu sagen hat, worin man einen Process erkennt hat, der eine unverkennbare Analogie zu der modernen, auf Differentialrechnung beruhenden Methode aufweist. (Vgl. darüber die oben — Note zu § 38 — citirte Abhandlung Bāpu Deva Sāstrins und eine weitere in den Noten zu dieser Abhandlung genannte Arbeit desselben Verfassers; sowie zwei ebenda erwähnte Arbeiten Spottiswoodes in JRAS. Vols. XVII u. XX.)

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§ 51. Geometrie. — Trigonometrie. — Die Entwickelung der Geometrie hat bei den Indern in keiner Weise mit derjenigen der Algebra gleichen Schritt gehalten. In letzterer Disciplin sind die Inder weit über das von den Griechen Geleistete hinausgegangen; in ihrer Geometrie dagegen findet sich fast nichts, was nicht auch den Griechen bekannt war, und andererseits besitzen sie nichts, was den höheren Teilen der griechischen Geometrie entspräche. Es fehlt völlig das Bestreben, welches die Darstellung der Griechen charakterisirt, die erkannten geometrischen Wahrheiten in einer fest verbundenen Kette logischer Schlüsse darzustellen, welche schliesslich auf einer kleinen Anzahl nicht weiter beweisbarer Axiome beruhen. Die Evidenz, mit der sich der Inder zufrieden gibt, ist entweder der Augenschein, insofern, als gewisse Gleichheiten und Congruenzen bei einer richtig gezeichneten geometrischen Figur sofort ins Auge fallen (die Figur wird gezeichnet und daneben geschrieben »Siehe!«), oder das Factum, dass der geometrische Satz sich in gewissen Fällen numerisch darstellen lässt (wie wenn die Wahrheit des Pythagoräischen Theorems aus der Betrachtung gewisser rechtwinkliger Dreiecke erhellt, deren Seiten sich alle in ganzen Zahlen ausdrücken lassen). Die den Indern bekannten geometrischen Sätze beschränken sich wesentlich auf die Berechnung von Drei- und Vierecken und des Kreises mit seinen eingezeichneten Figuren. Wir haben da zuerst den sogen. Pythagoräischen Satz mit eigentümlichen von den griechischen verschiedenen Beweisen. Wir haben ferner eine Anzahl von Formeln zur Berechnung der Flächen von Dreiecken und Vierecken verschiedener Art, wobei es sich besonders darum handelt, solche Figuren ausfindig zu machen, bei denen sich Perpendikel, Diagonale u. s. w. rational ausdrücken lassen. Die Methode ist durchaus numerisch; und vieles Einzelne ist entweder identisch mit dem von dem alexandrinischen Mathematiker Heron (100 v. Chr.) Gelehrten oder doch dem letzteren in allgemeiner Geistesrichtung nahe verwandt. Die Inder kennen ferner die Sätze, die zur Berechnung des Kreises, seiner Sehnen, seiner eingeschriebenen Polygone u. s. w. erforderlich sind. Bei Bhāskara finden sich die Seiten der Polygone bis zum Neuneck mit grosser Genauigkeit angegeben. Für π erscheinen in der indischen Mathematik als ältere Werte 3 und √10; der letztere Wert wird z. B. im Sūrya-Siddhānta verwendet. Schon bei Āryabhaṭa findet sich das Verhältnis 31416/10000; Bhāskara gibt daneben als einen »ungenauen« Wert 22/7 an, das dem Archimedes bekannte Verhältnis. Die richtige Regel über den Cubikinhalt einer Kugel findet sich bei Bhāskara. Was die indische Geometrie sonst über Körper zu sagen hat, ist nur ganz wenig.

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Dass die indische Trigonometrie sich dadurch von der griechischen unterscheidet, dass sie statt der Sehne durchaus den Sinus anwendet, ist schon oben bemerkt worden (§ 47); ebenso (S. 34) dass sie sich einer mit Intervallen von 3°45' fortschreitenden Sinustafel bedient und in eigentümlicher Weise den Radius in 3438 Minuten einteilt, deren der Quadrant des Kreises 5400 enthält, — eine auf π = 3.1416 beruhende Proportion. Die gewöhnliche indische Methode unterscheidet sich so von der Griechen, welche, ohne Rücksicht auf die Peripherie, den Radius in 60 Teile zerlegten, mit weiteren sexagesimalen Unterabteilungen. Es ist aber von Interesse, zu finden, dass eine in der Pañcasiddhāntikā gegebene Sinustafel in einer der griechischen analogen Weise verfährt, indem daselbst der Radius in 120 Teile zerlegt wird, und jeder von diesen wieder in 60. Diese Sinustafel gehörte vielleicht dem Pauliśa-Siddhānta an. Die gewöhnliche indische Methode ist möglicherweise eine Erfindung Āryabhaṭas und von ihm in den jüngeren uns vorliegenden S. S. übergegangen. Bedeutend genauere Berechnungen der Sinus finden sich schliesslich bei Bhāskara, welcher auf Grund von Bestimmungen der Werte von sin 1° und cos 1°, die erheblich besser sind als die Ptolemäischen, es lehrt, eine von 1° zu 1° fortschreitende Sinustabelle zu berechnen. — Die Trigonometrie ist den Indern durchaus nur in ihrer Anwendung auf astronomische Rechnungen bekannt.

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§ 52. Ältere Quellen. — Āryabhaṭa. — Das Manuscript von Bakhshālī. — Sulva-Sūtras. — Wir wenden uns zu dem, was über die Vorstufen dieses nach Brahmagupta und Bhāskara dargestellten mathematischen Wissens bekannt ist. Die Quellen fliessen hier sehr spärlich. Zunächst haben wir den mathematischen Abschnitt in Āryabhaṭas astronomischem Werke. Derselbe ist äusserst concis abgefasst und erschöpft vermutlich das mathematische Wissen des Verfassers nicht; immerhin erhellt daraus, dass Āryabhaṭa mit den Regeln zur Ausführung der arithmetischen Operationen einschliesslich des Ausziehens von Quadrat- und Cubikwurzeln durchaus vertraut war, und ebenso mit verschiedenen der oben erwähnten algebraischen Methoden; er löst Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten, ebenso die Gleichung ax² + bx + c = 0 und kennt die Kuṭṭaka-Methode (s. oben S. 73) zur Auflösung unbestimmter Gleichungen des ersten Grades. Der allgemeine Eindruck, den seine Regeln machen, ist, dass es sich hier um die concise Formulierung von Methoden handelt, die zu des Verfassers Zeit schon wohlbekannt waren. Auf geometrischem Gebiet ist auffällig, dass Āryabhaṭa, dem, wie oben erwähnt, der Wert von π = 3.1416 bekannt war, zwei völlig falsche Formeln für den Cubikinhalt der dreiseitigen Pyramide und der Kugel gibt. In der Terminologie unterscheidet er sich vielfach von den späteren Schriftstellern; er hat z. B. ein eigenes Wort zur Bezeichnung der unbekannten Grösse.

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Wir haben ferner Bruchstücke eines in einem Manuscript auf Birkenrinde enthaltenen mathematischen Werkes, das man mit CANTOR als das Rechenbuch von Bakhshālī bezeichnen mag. Dasselbe enthält eine Anzahl von Textaufgaben, darunter solche unbestimmter Art, zeigt Bekanntschaft mit der Summirung arithmetischer Reihen und hat mehrere interessante Eigentümlichkeiten in der Bezeichnung, indem es z. B. ein kreuzförmiges Zeichen zur Andeutung der Subtraktion verwendet und die unbekannte Grösse als śūnya (Null) bezeichnet und vermittelst eines Punktes schreibt. Die Zeit der Abfassung des Werkes — dessen Manuscript etwa zwischen 700 und 900 n. Chr. geschrieben sein mag — lässt sich nicht genau bestimmen.

c5.17

Wir haben schliesslich als unstreitig ältestes Denkmal indischen mathematischen, speciell geometrischen Wissens die sogen. Śulva-Sūtras, »Schnurregeln«, d. s. Abschnitte der vom brahmanischen Opferwesen handelnden Kalpa-Sūtras oder Nachträge zu ihnen. Diese merkwürdigen Schriften lehren nämlich, in welcher Weise — wobei zwischen Pfählen ausgespannte Schnüre eine grosse Rolle spielen — die für die verschiedenen Opfer erforderlichen Opferstätten, Altäre u. s. w. auszumessen sind, und geben zu diesem Zweck Regeln zur Herstellung von rechten Winkeln, Quadraten u. dgl., zur Verwandlung von Flächen bestimmter Art in andersartige von gleichem Inhalt und Ähnliches mehr. Diese Regeln setzen ein nicht unbeträchtliches Mass geometrischer Kenntnisse voraus: sie kennen das sogen. Pythagoräische Theorem, illustriren es durch die Angabe einer Anzahl rationaler rechtwinkliger Dreiecke, construiren mit seiner Hilfe Quadrate, die ein Vielfaches eines gegebenen Quadrates sind, verwandeln Rechtecke in Quadrate, geben einen annähernden Wert von √2 von bedeutender Genauigkeit und verwandeln Quadrate in Kreise und umgekehrt Kreise in Quadrate vermittelst ziemlich primitiver Annäherungsformeln, die von denen der späteren indischen Mathematiker verschieden sind. Dabei scheiden sich die Śulva-Sūtras durch ihre altertümliche Ausdrucksweise von der Darstellung der späteren mathematischen Werke scharf ab. Einzelne der technischen Ausdrücke der letzteren finden hier eine unerwartete Erklärung: so zeigt es sich z. B., dass karaṇī, die spätere Bezeichnung einer irrationalen Wurzel, eigentlich die Schnur bedeutet, die als Seite eines Quadrates dasselbe »macht« oder hervorbringt.

c5.18

§ 53. Ursprung der indischen Mathematik. — Wir haben schliesslich die Frage aufzuwerfen, ob die ganze Entwickelung der Mathematik bei den Indern als eine selbständige anzusehen ist, oder ob sie fremden Anregungen entweder entsprungen oder doch durch solche in ihrem Fortgang wesentlich beeinflusst worden ist. Die Ähnlichkeit, welche Teile der indischen Mathematik mit Teilen der griechischen haben, legt diese Frage schon von selbst nahe; und dann sind wir ja ausserdem oben zu dem Schlusse gekommen, dass die wissenschaftliche Astronomie der Inder ein Ableger griechischer Wissenschaft ist. Und in welch engem Zusammenhange die Mathematik der Inder mit ihrer Astronomie steht, darauf haben wir schon mehrfach hingewiesen. Ein Eingehen auf die Möglichkeit griechischen Einflusses auch im Gebiete der Mathematik ist daher unabweislich. Es ist hier bedeutend schwieriger, zu einer Entscheidung zu kommen, als im Falle der Astronomie. Solch ganz unzweideutige äussere Indicien wie das Vorkommen von technischen Ausdrücken unverkennbar griechischen Ursprunges fehlen auf dem Gebiete der Mathematik. Ebenso fehlt es hier an einem Zusammentreffen der beiderseitigen Disciplinen in halbwahren Theorien, entsprechend etwa der Theorie der Epicyklen auf astronomischem Gebiete. Dass die Übereinstimmungen dieser speciellen Art eine ganz besondere Beweiskraft für thatsächlichen historischen Zusammenhang haben, ist evident. Die Abwesenheit solcher und ähnlicher Gründe ist natürlich den Ansprüchen der Inder auf Originalität im Gebiete der Mathematik in gewissem Grade günstig. Dazu kommen nun die schon oben berührten Umstände, dass wenigstens die Arithmetik der Inder in keiner Weise als aus Griechenland stammend angesehen werden kann, und dass in einigen höheren Gebieten, besonders dem der unbestimmten Analyse, ihre Leistungen bedeutend über die der Griechen hinausgegangen sind.

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Trotz dieser Betrachtungen hat im Laufe der Zeit unter europäischen Gelehrten die Meinung mehr und mehr Boden gewonnen, dass auch auf dem Gebiete der indischen Mathematik griechischer Einfluss anzunehmen sei, besonders in ihrem geometrischen Teil, doch auch in gewissem Masse in der Algebra. Der Hauptvertreter dieser Ansicht ist gegenwärtig M. CANTOR, der berühmte Geschichtschreiber der Mathematik; nach ihm ist das ganze geometrische Wissen der Inder von den Śulva-Sūtras an aus Alexandria entlehnt, und sind ferner von eben da, nämlich durch Diophant, bedeutende Anregungen auf dem Gebiete der Algebra gekommen. Diese Anregungen seien bei den für das Zahlenrechnen von Haus aus eminent begabten Indern auf einen besonders fruchtbaren Boden gefallen und hätten so zu einer schliesslich die griechische Wissenschaft selbst überholenden Entwickelung der Algebra Veranlassung gegeben. — Auf der anderen Seite muss erwähnt werden, dass eine andere gewichtige mathematische Autorität, H. HANKEL (in seinem geistreichen Werk »Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter«, 1874) eine durchaus entgegengesetzte Ansicht vertritt; nach ihm ist die ganze indische Mathematik, einschliesslich ihres geometrischen Teiles, durchaus auf indischem Boden erwachsen. In Bezug auf die Algebra weist CANTOR darauf hin, dass sich in einzelnen Formeln, in der Bezeichnung einzelner Operationen u. s. w. gewisse Übereinstimmungen zwischen den griechischen und den indischen Mathematikern finden; er gibt aber schliesslich zu, dass, während manches von griechischer Herkunft zu sein scheine, die Inder jedenfalls mit dem aus der Fremde zu ihnen Gekommenen staunenswerte eigene Leistungen verbunden haben. Wenn wir von dem nicht genau zu datirenden Rechenbuche von Bakhshālī absehen, so ist freilich der älteste uns bekannte indische Schriftsteller, welcher Algebraisches behandelt, Āryabhaṭa, und dieser ist schon bedeutend später als Diophant. Dass aber Algebra in Indien schon vor Āryabhaṭa betrieben wurde, ist zum mindesten nicht unwahrscheinlich; und HANKEL neigt sich, mit Rücksicht einerseits auf die unläugbare Begabung der Inder für Algebra und andererseits auf die isolirte Stellung des Diophant in der Geschichte der griechischen Mathematik, der Ansicht zu, dass Diophant wenigstens unbestimmte Anregung von Indien empfing. — Seine Hauptargumente entnimmt CANTOR freilich dem Gebiete der Geometrie: er ist der ganz bestimmten Ansicht, dass auf diesem Felde nichts Indisches original sei, und dass schon das Wissen der Śulva-Sūtras auf einer Aneignung griechisch-ägyptischer, speciell Heronischer Geometrie beruhe. Er beruft sich zum Beweis dieser Ansicht auf den allgemeinen Mangel der Inder an eigentlich geometrischer Begabung, im Contrast zu der eminenten Veranlagung der Griechen in dieser Richtung, auf die unzweifelhafte Geistesverwandtschaft indischer und Heronischer Geometrie und ganz besonders auf die thatsächliche Übereinstimmung gewisser den Indern bekannter Methoden und Formeln mit den bei Heron gegebenen.

c5.20

In einer Frage, wo sich so eminente mathematische Autoritäten gegenüberstehen, ist es für den Verfasser dieser Arbeit schwer, entschiedene Stellung zu nehmen. Er erkennt nicht das Gewicht mehrerer von CANTOR betonter Umstände, ist aber doch nicht im Stande, dessen Ansicht als durchaus erwiesen anzuerkennen. Die wenigen Bemerkungen, die über diesen Punkt im folgenden gemacht werden, beanspruchen weder die ganze Frage gründlich zu erörtern, noch auch eine der CANTORS entgegengesetzte Ansicht als die allein mögliche zu befürworten. Sie bezwecken nur — wie es bei dem gegenwärtigen Stand der Forschung rätlich erscheint — derjenigen Auffassung gegenüber, welche heutzutage, hauptsächlich eben infolge der grossen Autorität CANTORS, vorzuherrschen scheint, auf einige der Haupterwägungen hinzuweisen, die, wie der Verfasser glaubt, auch jetzt noch für die Unabhängigkeit der indischen Mathematik zu sprechen scheinen.

c5.21.1

Da auf arithmetischem Gebiete die Inder anerkanntermassen ganz selbständig sind und sie ferner, wie ebenfalls allgemein zugegeben, in der Algebra weit über die griechischen Leistungen hinausgegangen sind, so wird man wohl sagen dürfen, dass die Annahme einer selbständigen Stellung der Inder auch auf letzterem Gebiete die a priori wahrscheinlichere ist. Und es erscheint zweifelhaft, ob die von CANTOR auf diesem Felde gezeigten Übereinstimmungen (über welche die Einzelheiten bei ihm nachzusehen sind) als so schlagend und unzweideutig angesehen werden müssen, um ihretwegen die allgemein wahrscheinlichere Hypothese fallen zu lassen. Die von ihm für die Abhängigkeit indischer Geometrie vorgebrachten Gründe sind bedeutend gewichtigerer Natur. Doch lässt sich auch hier einiges auf der anderen Seite sagen. Dass die Inder auf diesem Gebiete nicht besonders begabt waren, ist zuzugeben; sie haben es darin nie sonderlich weit gebracht, und dass hier selbst ein Mann wie Āryabhaṭa sich so ganz wunderbare Versehen zu Schulden kommen lassen konnte wie die oben (§ 52) erwähnten, macht einen allerdings nachdenklich. Andererseits liefert aber doch der Umstand, dass ein Volk es auf einem bestimmten Gebiete nicht weit gebracht hat, keinen überzeugenden Beweis dafür, dass auch das wenige von ihm thatsächlich Geleistete fremden Ursprungs sein muss.

c5.21.2

Es lässt sich sehr wohl denken, dass die Inder, obwohl ohne tiefere Befähigung für Geometrie, im Stande waren, eine gewisse beschränkte Summe geometrischer Einsicht sich selbständig zu erwerben, und dann, zufrieden mit dem Erworbenen, welches für ihre praktischen Bedürfnisse durchaus ausreichte, von weiterem Fortschreiten absahen. Āryabhaṭa kommt eben da zu Schaden, wo er, aus dem Gebiete der traditionellen ebenen Geometrie herausgehend, sich an die weit schwierigere — ganz neue Anforderungen an das Anschauungsvermögen machende — Berechnung von Körpern wagt. — Die allgemeine Ähnlichkeit der Geistesrichtung der indischen und Heronischen Geometrie ist evident. Beide sind eben durchaus rechnender, praktischer Natur und bilden so in gleicher Weise einen entschiedenen Contrast zu der höheren, theoretischen Betrachtung der Wissenschaft, wie sie uns in Euclid und den anderen grossen griechischen Autoritäten vorliegt. Diese allgemeine Ähnlichkeit allein würde aber kaum hinreichen, es auch nur wahrscheinlich zu machen, dass die indische Geometrie ein blosser Ableger der Heronischen sein sollte. Die selbständige Entwicklung einer beschränkten Summe praktischer geometrischer Kenntnisse bei zwei verschiedenen Völkern hat durchaus nichts Auffälliges, und in Erwägung der Thatsache, dass Rechnen im allgemeinen eine starke Seite der Inder ausmacht, ist das Auftreten einer vorzugsweise berechnenden Geometrie bei ihnen ja gerade das, was wir von vornherein erwarten durften.

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— Es bleibt daher als wichtigster Beweisgrund für indische Abhängigkeit von Griechenland das gemeinsame Vorkommen gewisser bestimmter Regeln und Formeln. Einige der hier einschlagenden Fälle sind merkwürdig; immerhin bleibt es zu erwägen, ob sie genügen, den historischen Zusammenhang wirklich unabweislich zu machen. Gewisse Formeln, die von Heron entlehnt sein könnten, lassen sich auch ganz ohne Schwierigkeit als das Resultat indischer Erfindung auffassen; und andererseits fehlt es nicht an Fällen, wo der Mangel an Übereinstimmung zu denken gibt. — In Bezug auf etwaige Abhängigkeit der Śulva-Sūtras von Heron ist zu bemerken, dass diese Schriften wohl sicher als älter als Heron betrachtet werden müssen; sie sind wesentliche Teile der Kalpa-Sūtras, welch letztere kaum später als das dritte oder vierte vorchristliche Jahrhundert anzusetzen sind. Auf diesen Punkt ist jedoch kein Gewicht zu legen, da ein beträchtlicher Teil des in Heron enthaltenen geometrischen Wissens als bedeutend älter als dieser Autor angesehen werden darf; vieles einzelne war den Ägyptern schon in viel früherer Zeit bekannt und könnte möglicher Weise schon damals von ihnen den Indern mitgeteilt worden sein. — Was andererseits das gering entwickelte Wissen der Inder auf dem Gebiete der Trigonometrie betrifft, so erscheint es als durchaus wahrscheinlich, dass es ursprünglich von den Griechen zu ihnen gekommen ist, als ein wesentlicher Bestandteil der wissenschaftlichen astronomischen Theorie;

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es erscheint demnach in den älteren astronomischen Theorien episodisch inmitten der astronomischen Lehren dargestellt. Das Überlieferte wurde dann in verschiedener Weise von den indischen Astronomen umgestaltet, wie wir dies oben gesehen haben. In Bezug auf den Gebrauch des Sinus seitens der Inder anstatt der von den Griechen angewandten Sehne bemerkt P. TANNERY — welcher geneigt ist, die griechische Trigonometrie nicht, wie man gewöhnlich thut, erst von Hipparch zu datiren — dass es nicht notwendig ist, darin einen originellen indischen Gedanken zu erblicken; es könne dies eine griechische Idee gewesen sein, welche Hipparch bei Seite setzte (Recherches sur l'Histoire de l'Astronomie ancienne p. 66). In Bezug auf die indische Einteilung des Viertelkreises in 24 Teile zum Behuf der Berechnung des Sinus erinnert uns derselbe Gelehrte an die Einteilung des Kreises durch Archimedes in 96 Teile (ebenda p. 65).

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§ 54. Spätere Autoren. — Über andere Schriftsteller dem Gebiete der Mathematik als die bisher genannten ist nicht viel zu berichten. Bhāskara nennt als seine Vorgänger, neben Brahmagupta, Śrīdhara und Padmanābha. Von Śrīdhara ist ein von Arithmetik handelndes Werk, Namens Triśatikā, erhalten, aber noch nicht veröffentlicht. Aus der Zeit nach Bhāskara sind dessen Commentatoren zu nennen, aus denen COLEBROOKE in den Noten seines grossen Werkes vielfache Auszüge gibt. — Zu der Zeit, als die arabisch-persische Astronomie anfing, die indische zu beeinflussen, fanden natürlich auch westliche Kenntnisse auf dem Gebiete der Mathematik in Indien Eingang. Einiges davon wurde schon oben in dem astronomischen Kapitel berührt, so die Übersetzung der Elemente Euclids in das Sanskrit (§ 41). Es fehlt noch ganz an detaillierter Forschung auf diesem freilich nicht besonders wichtigen Gebiete. Einiges unzweifelhaft auf westlichen Quellen Beruhende über mathematische Dinge findet sich in dem astronomische Werke des Kamalākara (s. oben § 40); aus dieser Quelle stammen die »Extracts from a modern Hindoo Treatise on Astronomy«, welche E. STRACHEY in seinem »Bija Ganita or the Algebra of the Hindus« (London 1818) mitteilt (p. 110 ff.).

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Die Hauptquelle für die Kenntnis der indischen Mathematik ist COLEBROOKES 1817 erschienenes Werk »Algebra with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmagupta and Bhāskara«, welches vollständige Übersetzungen von Bhāskaras Līlāvatī (über Arithmetik) und Vijagaṇita (Algebra) und von den mathematischen Kapiteln von Brahmaguptas astronomischem Siddhānta enthält, mit zahlreichen Auszügen aus den Commentatoren der beiden Schriftsteller. Der Sanskrittext von Bhāskaras beiden Werken ist wiederholt in Indien herausgegeben worden. COLEBROOKES Buch hat eine höchst wertvolle Einleitung, die (um nur auf ihren eigentlich mathematischen Teil Rücksicht zu nehmen) den Charakter und das Alter der indischen Mathematik bespricht und ihr Verhältnis zu der griechischen und arabischen Mathematik untersucht; die Einleitung ist wieder abgedruckt Misc. Ess. New Ed. II, 375 ff. — Darstellungen der indischen Mathematik und Untersuchungen über ihren Ursprung sind seitdem zahlreich gegeben worden; die wichtigsten sind die im Text schon erwähnten CANTORS und HANKELS. Vgl. darüber ferner ARNETH, Geschichte der reinen Mathematik (1852); BROCKHAUS, Über die Algebra des Bhāskara (Berichte der Sächs. Ges. d. Wiss., Phil.-hist. Cl., 1852). — Das mathematische Kapitel Āryabhaṭas behandelt L. RODET, Leçons de Calcul d'Āryabhaṭa (Journal Asiatique, Série 7, Tome 13, 1879). — Mit dem sogen. Rechenbuche von Bakhshālī wurden wir bekannt gemacht durch HOERNLE, Ind. Ant. Vol. XVII. — Von einzelnen Punkten der späteren Geometrie handeln CHASLES im »Aperçu historique sur l'Origine etc. des Méthodes en Géométrie«, 2. Éd. 1875, und WEISSENBORN, Das Trapez bei Euclid, Heron und Brahmagupta (Supplementheft d. hist.-lit. Abthlg. d. Ztschr. f. Math. u. Phys. XXIV, 1879). — Über die Śulvasūtras vgl. G. THIBAUT, On the Śulvasūtras (JASB. XLIV); CANTOR, Gräko-indische Studien, Ztschr. f. Math. u. Phys. XXII, Hist.-lit. Abthlg.; HUNRATH, Über das Ausziehen der Quadratwurzel bei Griechen und Indern, 1883; L. V. SCHROEDER, Indiens Literatur und Cultur, 718 ff. Die uns bekannten Śulvasūtras bilden Abschnitte der Kalpasūtras des Baudhāyana, des Āpastamba und der Mānavas; zum Sūtra des Kātyāyana haben wir ein Śulva-pariśiṣṭa. Das Śulvasūtra des Baudhāyana wurde mit englischer Übersetzung edirt von G. THIBAUT, im Pandit, Vol. IX ff.; ebenda, New Series, Vol. IV, ein Teil des Kātyāyana-Pariśiṣṭa. — Es gibt auch verschiedene spätere Sanskritwerke, in denen die zu Opferzwecken erforderlichen geometrischen Methoden vorgetragen werden, meist mit Vermischung älterer und jüngerer Regeln, und eine analoge Schriftenreihe, die, durchaus auf späterem Standpunkt stehend, von der Herstellung der sogen. Kuṇḍas handelt.

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Die Trigonometrie der Inder wird von den Geschichtschreibern der Mathematik, CANTOR, HANKEL u. a. behandelt, ferner in den Übersetzungen astronomischer Werke, den Abhandlungen über Astronomie u. s. w. Besonders zu vergleichen sind die Ausführungen in der Übersetzung des Sūrya-Siddhānta von BURGESS-WHITNEY (JAOS. VI). — Bhāskaras trigonometrisches Kapitel ist übersetzt als Anhang zu WILKINSONS Übersetzung des Golādhyāya des Siddhānta-Śiromaṇi, Calc. 1861—62. — Über mathematische Autoren geringerer Bedeutung findet sich vielfache Auskunft in Paṇḍit SUDHĀKAR DVIVEDĪS Gaṇaka-Taraṅgiṇī.

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Druckfehler.

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S. 6, letzte Zeile: statt SBD. lies ŚBD. S. 19, Z. 39: statt Śatapatha lies Śatapatha. S. 28, Z. 36: statt Ṛgvedā lies Ṛgveda. S. 37, Z. 2 v. u.: statt Vahāra-Mihira lies Varāha-Mihira.

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